다변량 정규분포 예제

이 테스트 통계의 제한 분포는 카제곱 랜덤 변수의 가중 합계이지만[31] 실제로는 몬테카를로 시뮬레이션을 사용하여 샘플 분수 계산을 하는 것이 더 편리합니다. [인용 필요] 실제 무작위 벡터 X = ( X 1 , … X k) T {디스플레이 스타일 mathbf {X} =(X_{1}, ldots, X_{k})^{mathrm {T}}}는 모든 구성 요소가 독립적이고 각 구성 요소가 독립적이고 각 단위가 0평균 단위인 경우 표준 일반 무작위 벡터라고 합니다. 분산 임의 변수, 즉 N n경우 N ~ N (0 , 1) {디스플레이 스타일 X_{n}\mathcal {N}}}}(0,1)} 모든 n {디스플레이 스타일 n} . [1]:p. 454 Y = c = BX가 X ~ N의 affine 변환인 경우 ( μ , Σ) , {디스플레이 스타일 mathbf {X} sim {mathcal {N}}({boldsymbol {mu}}, {boldsymbol {Sigma}}), 여기서 c는 M × 1 {표시 스타일 +1 르 Mtimes N} 행렬, 그런 다음 Y는 예상 값 c + Bμ 및 분산 BΣBT i., Y N ~ N (c + B μ, B Σ B T) {#mathcal {N}=왼쪽 (mathbf {c} {b} {b}=.mathbf {B}를 가진 다변량 정규 분포를 가짐} gma }}mathbf {B} ^{rm {T}}오른쪽)} . 특히 Xi의 모든 하위 집합에는 다변량 법선인 한계 분포가 있습니다. 이를 보려면, 다음 예제를 고려하십시오: 하위 집합(X1, X2, X4)T를 추출하기 위해, 다변량 분포의 한 가지 주요 중요성은 중앙 제한 정리를 여러 변수로 확장한 것입니다: 정규 분포는 완전히 매개변수 μ(평균) 및 σ(표준 편차)를 참조하십시오. 다변량 케이스와 비교하면 σ2가 분산인 약어 N(μ, σ2)을 사용하는 것이 더 좋을 지라도 평균 μ 및 표준 편차 σ를 사용한 정규 분포를 참조하기 위해 약어 N(μ, σ)을 사용합니다. 관찰: 위의 계산을 사용하여 k = 2가 다변량 법선 분포가 다변량 정규 분포인 경우 다변량 정규 분포는 여러 일반적으로 분산된 변수의 벡터이며, 변수의 선형 조합도 일반적으로 분포됩니다. 중앙 제한 정리를 여러 변수로 확장하는 데 주로 유용하지만 다변량 정규 분포가 일부 특성의 특징을 근사화하는 데 사용되는 베이지안 추론 및 따라서 기계 학습에 대한 응용 프로그램이 있습니다. 예를 들어, 사진에서 얼굴을 감지할 수 있습니다. 공변 행렬이 단수인 퇴화의 경우 해당 분포에는 밀도가 없습니다.

자세한 내용은 아래 섹션을 참조하십시오. 이 경우 통계에서 자주 발생합니다. 예를 들어, 일반 최소 제곱 회귀에서 잔류 벡터의 분포에서. 또한 X i {디스플레이 스타일 X_{i}}는 일반적으로 독립적이지 않습니다. 행렬 A {디스플레이 스타일 {boldsymbol {A}}}를 독립 가우시안 변수 Z {displaystyle mathbf {Z} } 컬렉션에 적용한 결과로 볼 수 있습니다. 여기서 x {디스플레이 스타일 {mathbf {x} }} 실제 k 차원 열 벡터이며 | Σ | ➤ Det Σ {디스플레이 스타일 |{ 굵은 기호 {시그마 }}}=\equiv det {굵은 기호 {Sigma }}}는 Σ {디스플레이 스타일 {boldsymbol {Sigma}}}의 결정자입니다. 위의 방정식은 Σ {displaystyle {Sigma }}가 1 × 1 {디스플레이 스타일 1시간 1} 행렬(예: 단일 실제 숫자)인 경우 일변량 정규 분포로 줄어듭니다. 임의 벡터 x=(X1,X2,…,Xn)mathbf{x==(X_1, X_2, ldots, X_n)x=(X1, X2 ,…,Xn)는 임의 변수 X1,X2,…,XnX_1, X_2, N_2, X_2, X_nX ,…,, X_nX, X_2, X_nX, X_nX, 일반적으로 분산된 임의의 변수의 선형 조합인 경우 다변량 정상입니다.